Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 5: Ιδιοτιμές - Ανάλυση δυναμικών συστημάτων

Εκπαιδευτικός Στόχος: Ένα ιδιοδιάνυσμα v ενός πίνακα A είναι ένα διάνυσμα που δεν αλλάζει διεύθυνση (μόνο μήκος) όταν εφαρμοσθεί ο A. Av = λv όπου λ είναι η αντίστοιχη ιδιοτιμή. Τα ιδιοδιανύσματα είναι σημαντικά για κατανόηση της δυναμικής του συστήματος.
Ορισμός: Av = λv      Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: det(A - λI) = 0
- - -

Ιδιοτιμές & Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο

Λ είναι ιδιοτιμή του Α αν υπάρχει x≠0 με Ax = λx (ο Α απλώς κλιμακώνει το x).

det(A − λI) = 0  → χαρακτηριστικό πολυώνυμο p(λ)  → ιδιοτιμές

Σε ℝ²: p(λ) = λ² − tr(A)·λ + det(A). Για κάθε λ: ιδιοχώρος = ker(A−λI). Η ανίχνευση ισούται με άθροισμα ιδιοτιμών.

📖 Συμπληρωματικό υλικό από το βιβλίο «Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας, Διαφορικού & Ολοκληρωτικού Λογισμού» Νίκος Ματζάκος, Αναπληρωτής Καθηγητής  ·  nikmatz@gmail.com