Κεφάλαιο 6: Διαγωνοποίηση - Ανάλυση σε κύρια συστατικά
Εκπαιδευτικός Στόχος: Η διαγωνοποίηση A = PDP⁻¹ επιτρέπει εύκολο υπολογισμό δυνάμεων: A^n = PD^nP⁻¹. Ο πίνακας P έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσματα και D είναι διαγώνιος με τις ιδιοτιμές στη διαγώνιό του.
Σχέση διαγωνοποίησης: A = P·D·P⁻¹ όπου P είναι οι ιδιοδιανυσματικές στήλες και D είναι διαγώνιος με ιδιοτιμές.
Αρχικός πίνακας A
Ιδιοτιμές
Πίνακας ιδιοδιανυσμάτων P
Διαγώνιος πίνακας D
Εκτιμώμενο A = P·D·P⁻¹
Διαγωνοποίηση Πινάκων
Ο Α είναι διαγωνοποιήσιμος αν A = P·D·P⁻¹ με D διαγώνιος.
D = diag(λ₁,...,λₙ): ιδιοτιμές · P: ιδιοδιανύσματα ως στήλες
📖 Συμπληρωματικό υλικό από το βιβλίο «Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας, Διαφορικού & Ολοκληρωτικού Λογισμού»Νίκος Ματζάκος, Αναπληρωτής Καθηγητής · nikmatz@gmail.com