Θεμελιώδες Θεώρημα Λογισμού

F(x) = ∫₀ˣ f(t) dt ⟹ F'(x) = f(x)
1.50
f(t) = ∫₀ˣ (εμβαδό με μπλε χρώμα)
F(x) = ∫₀ˣ f(t) dt (αθροιστική συνάρτηση)
Θεώρημα: Η κλίση της συνάρτησης F(x) (κάτω γράφημα) ισούται με την τιμή f(x) (άνω γράφημα). Η κόκκινη τελεία δείχνει ότι η κλίση της καμπύλης F(x) στο x είναι ακριβώς f(x).

Θεμελιώδες Θεώρημα Λογισμού

Το ΘΘΛ συνδέει τη διαφόρηση και την ολοκλήρωση.

ΘΘΛ-1: F(x) = ∫ₐˣf(t)dt ⟹ F′(x) = f(x)  ·  ΘΘΛ-2: ∫ₐᵇf(x)dx = F(b)−F(a)

Η παράγωγος και το ολοκλήρωμα είναι αντίστροφες πράξεις. Το ΘΘΛ δείχνει γιατί αρκεί να βρούμε αντιπαράγωγο για να υπολογίσουμε ορισμένο ολοκλήρωμα.

📖 Συμπληρωματικό υλικό από το βιβλίο «Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας, Διαφορικού & Ολοκληρωτικού Λογισμού» Νίκος Ματζάκος, Αναπληρωτής Καθηγητής  ·  nikmatz@gmail.com