Κουίζ: Διαγωνοποίηση Πινάκων

Αυτοαξιολόγηση

10 ερωτήσεις για διαγωνοποίηση, συμμετρικούς πίνακες, SVD και εφαρμογές.

Ερώτηση 1 / 10

Ένας $n\times n$ πίνακας $A$ είναι διαγωνοποιήσιμος αν:

α) $\det A\neq 0$ β) έχει $n$ γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα γ) έχει $n$ διαφορετικές ιδιοτιμές στο ℂ δ) είναι συμμετρικός

Ερώτηση 2 / 10

Κάθε πραγματικός συμμετρικός πίνακας είναι ορθογωνικά διαγωνοποιήσιμος.

Σωστό Λάθος

Ερώτηση 3 / 10

Αν $A=PDP^{-1}$, τότε $A^5=$

α) $5PDP^{-1}$ β) $PD^5P^{-1}$ γ) $P^5D(P^{-1})^5$ δ) $PDP^{-5}$

Ερώτηση 4 / 10

Κάθε πίνακας με ιδιοτιμές 0 και 1 (χωρίς επαναλήψεις) είναι διαγωνοποιήσιμος.

Σωστό Λάθος

Ερώτηση 5 / 10

Στη SVD $A=U\Sigma V^T$, τα ιδιάζουσα τιμές (singular values) είναι:

α) οι ιδιοτιμές του $A$ β) οι τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών του $A^TA$ γ) τα διαγώνια στοιχεία του $U$ δ) τα στοιχεία του $V$

Ερώτηση 6 / 10

Ένας $2\times2$ πίνακας με ίδια ιδιοτιμή $\lambda$ (διπλή) είναι διαγωνοποιήσιμος αν:

α) πάντοτε β) ποτέ γ) μόνο αν είναι $\lambda I$ δ) αν και μόνο αν rank$(A-\lambda I)=0$

Ερώτηση 7 / 10

Οι SVD ιδιάζουσες τιμές είναι πάντοτε μη αρνητικές.

Σωστό Λάθος

Ερώτηση 8 / 10

Για συμμετρικό $A$, ποια ισχύει;

α) Ιδιοδιανύσματα για διαφ. ιδιοτιμές είναι ορθογώνια β) Ιδιοτιμές μπορεί να είναι μιγαδικές γ) Δεν είναι διαγωνοποιήσιμος δ) Τα ιδιοδιανύσματα είναι παράλληλα

Ερώτηση 9 / 10

Αν $A$ διαγωνοποιήσιμος με ιδιοτιμές $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, τότε $\det A=$

α) $\sum_i\lambda_i$ β) $\prod_i\lambda_i$ γ) $\max_i\lambda_i$ δ) $\mathrm{tr}(A)$

Ερώτηση 10 / 10

Κάθε ορθογώνιος πίνακας ($A^TA=I$) έχει $|\det A|=1$.

Σωστό Λάθος