Κουίζ: Γενικευμένα Ολοκληρώματα

Αυτοαξιολόγηση

10 ερωτήσεις για σύγκλιση γενικευμένων ολοκληρωμάτων και κριτήρια σύγκλισης.

Ερώτηση 1 / 10

$\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^2}dx=$

α) $+\infty$ β) $1$ γ) $2$ δ) $1/2$

Ερώτηση 2 / 10

$\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x}dx$ συγκλίνει.

Σωστό Λάθος

Ερώτηση 3 / 10

$\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}dx$ συγκλίνει αν και μόνο αν:

α) $p>0$ β) $p>1$ γ) $p\geq1$ δ) $p<1$

Ερώτηση 4 / 10

$\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=$

α) 0 β) $e$ γ) 1 δ) $+\infty$

Ερώτηση 5 / 10

Κριτήριο σύγκρισης: αν $0\leq f\leq g$ και $\int_a^\infty g$ συγκλίνει, τότε $\int_a^\infty f$ συγκλίνει.

Σωστό Λάθος

Ερώτηση 6 / 10

$\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=$

α) $+\infty$ β) $1/2$ γ) $2$ δ) $1$

Ερώτηση 7 / 10

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=$

α) 0 β) 1 γ) $\sqrt{\pi}$ δ) $\pi$

Ερώτηση 8 / 10

$\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{x}dx$ αποκλίνει.

Σωστό Λάθος

Ερώτηση 9 / 10

Κριτήριο ορίου: αν $\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L\in(0,\infty)$, τότε:

α) $\int f$ συγκλίνει πάντα β) $\int f$ και $\int g$ συγκλίνουν ή αποκλίνουν μαζί γ) $\int f$ αποκλίνει δ) $L$ δεν έχει σημασία

Ερώτηση 10 / 10

$\int_0^{+\infty}xe^{-x}dx=$
α) 0 β) $e$ γ) 1 δ) $1/e$
✓ Απάντηση: γ) 1
$\int_0^\infty xe^{-x}dx=\Gamma(2)=1!=1$ (κ.μ.μ: $[-xe^{-x}]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-x}dx=0+1=1$).